已知{an}满足a1=1,an=0.5a(n-1)+1(n>=2)求｛an｝的通项公式

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/09/24 01:49:57
我知道过程但不知道为什么，希望各位针对过程来回答谢谢
题中的n，（n-1）,(n-2)都是下角标
解：设an+x=0.5[a(n-1）+x]
待定系数法an=0.5a(n-1)-0.5x
又因为an=0.5a（n-1）+1
所以-0.5x=1
所以x=-2
an -2=0.5[a（n-1）-2]
所以（an-2）/[a（n-1）-2]=0.5
所以an-2是以首项为a1-2=1-2=-1,公比为0.5的等比数列
所以an-2=（-1）*（0.5）（n-1） （此n-1为次方数）
所以an=2-（0.5）（n-1） （n〉=2）
所以n=1时
a1=1
所以符合上式通项公式
所以an=2-（0.5）（n-1）

（设an+x=0.5[a(n-1）+x]
待定系数法an=0.5a(n-1)-0.5x
又因为an=0.5a（n-1）+1
所以-0.5x=1
是怎么来的呢？为什么要设这个式子呢？
老师说形如an=ka(n-1)+b，要设an+x=k（a(n-1)+x),kx-x=b待定系数法得{an+x}为等比数列，能告诉我为什么要这么设吗，请尽量详细

这个主要是要观察an=0.5a(n-1)+1递推形式。

等比数列满足：an=q*a(n-1)，于是我们可以想像如果上面这个递推式子没有1，那么就是等比数列了。

于是如何解决1是关键，这个时候如果能够做些小改动，
例如将1进行一定的分离，如0.2+0.8，一个放左边，一个放右边，右边可以提取0.5，那么就有可能形成新的数列
{an+x}满足an+x=0.5*(a(n-1)+x)，那么它将是个公比为0.5的等比数列了。所以关键在于确定x，这一切正着来写，就成为了所谓的待定系数法。